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猫尾製作所

あまりアテにしないでね

次元解析(其之壱)

物理学 次元解析

さて、お久しぶりの更新です。もう2013年も弥生3月。先月2月は月を通していちども更新しませんでした。今日は 昨年12月27日 に書くことを約束した「次元解析」についての記事を今頃になってようやく書かせていただきます。

頭書きはこれぐらいにして。本題へと参ります。

さて、次元とは何でしょう。私の中でも物理学では大変重要ではあれど抽象的なこの概念に対する説明の方法を考えるのにやや難儀しました。まずは、次元とは物理量の持つ属性の一つ、とお茶を濁しておきます。

物理学には「加法(と減法)は同じ次元を持つもの同士のみに定義される」という原則があります。例えば「2センチメートル+3インチ」という足し算は意味を持ちますが、「5キログラム+7メートル」なんていう足し算は意味を持たないとされます。

いや、後者は 5 プラス 7 で 12 じゃないか、といいたくもなるかもしれませんが、ではその場合は結果の単位はどうなるのでしょう。次元が違うものどうしは直接足し合わせることはできないのです。それなら前者も単位が違うじゃないか、といいたくもなるかもしれませんが、単位は違っても同じ次元を持つ量に対しては、単位の変換により加法を定義することができます。ときにはやはりそういう演算も意味を持たないことがありますが。

1インチは2.54センチメートルですので、前者の計算の答えは
2 センチメートル + 3 インチ × 2.54 センチメートル/インチ
= 2 センチメートル + 7.62 センチメートル = 9.62 センチメートル
(あるいは 2 センチメートル ÷ 2.54 センチメートル/インチ ≒ 0.79 インチ より 0.79 インチ + 3 インチ = 3.79 インチ を答えとする)
といった具合になるのです。

さて、次元というのは抽象的な概念ですが、以下のような次元なら比較的具体的に見えるところではないでしょうか。

長さ、面積、体積

古代の数学の問題には長さと面積を同一視しているものがありました。例えば「正方形の面積と一辺の長さの和が 30 となる正方形の一辺の長さを求めよ」と口語訳されるようなものです。しかし、物理学(少なくとも初歩の段階においては)では先述の通りそれはナンセンスな演算でもあります。

長さが存在するのが一次元の世界でした。そして、長さ(幅)と長さ(奥行き)を掛け合わせることで面積が生まれます。二つの長さの掛け算なのでそれが存在する世界は平面であり、二次元ともいわれます。そして、面積に更に長さ(高さ)を掛けることで体積が得られます。面積にさらに長さを掛けるので結局は三つの長さの掛け算であるのでそれが存在する世界は立面であり、三次元となるわけです。

一旦、このあたりで筆を置きます。
小分けしたほうがいいと思いますので。
また次回。