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猫尾製作所

あまりアテにしないでね

連続する整数の積からなる数列の和

数学

特別な数列の和において、次のような関係が成り立ちます。

 \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) \cdots (k+m-1) \\ = \frac{1}{m+1} n(n+1)(n+2) \cdots (n+m-1)(n+m)

左辺は  m 項の掛け合わせ、右辺は  m+1 項の掛け合わせです。

具体的に書くならば、

<br />
 \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n(n+1) \\<br />
 \sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{1}{3} n(n+1)(n+2) \\<br />
 \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3)

といったふうになります。

このことは、
 S_m(n) := \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) \cdots (k+m-1)
として、 S_m(0) = 0, および差分である  S_m(n) - S_m(n-1) = n(n+1)(n+2) \cdots (n+m-1)
を変形することで証明できます。